Cours — Mathématiques
Nombres et calculs
Les identités remarquables
Les identités remarquables sont des raccourcis de calcul magiques pour développer et factoriser en un clin d'œil sans faire toutes les étapes :
- $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ (carré d'une somme)
- $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ (carré d'une différence)
- $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ (produit d'une somme par une différence)
L'astuce mémo du double produit ($2ab$) : N'oublie jamais le terme du milieu dans $(a+b)^2$ ! Ce n'est PAS $a^2 + b^2$, il y a toujours le double produit $2 \times a \times b$.
• $(x + 3)^2 = x^2 + 2 \times x \times 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$.
• $(x - 4)(x + 4) = x^2 - 4^2 = x^2 - 16$.
Les racines carrées
La racine carrée d'un nombre positif $a$, notée $\sqrt{a}$, est le nombre positif dont le carré donne $a$.
L'analogie de l'arbre et de sa graine : Si le carré fait grandir le nombre ($7^2 = 49$), la racine carrée revient à la graine d'origine ($\sqrt{49} = 7$) !
Règles de calcul indispensables :
- $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$. Ex : $\sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$.
- $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$. Ex : $\sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.
- ⚠️ Attention au piège classique : $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ (ex : $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$, alors que $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$).
Équations et inéquations du premier degré
Pour résoudre une équation ou inéquation du 1er degré, on isole l'inconnue $x$ d'un côté de l'égalité.
L'unique piège des inéquations : Si tu multiplies ou divises les deux côtés par un nombre NÉGATIF, le crocodile change de sens ! ($<$ devient $>$).
Exemples résolus :
- Équation : $3x - 5 = 10 \rightarrow 3x = 15 \rightarrow x = 15 \div 3 = 5$.
- Inéquation standard : $2x + 3 < 9 \rightarrow 2x < 6 \rightarrow x < 3$.
- Inéquation avec division négative : $-2x \le 8 \rightarrow x \ge \frac{8}{-2} \rightarrow x \ge -4$.
Puissances et notation scientifique
La notation scientifique permet d'écrire de manière très compacte les distances intergalactiques ou la taille des atomes.
$a \times 10^n$ avec $1 \le a < 10$
Le nombre $a$ doit impérativement avoir un seul chiffre avant la virgule (et différent de 0).
L'astuce pour compter l'exposant : Compte de combien de rangs tu déplaces la virgule ! Vers la gauche = exposant positif ($45\,000 = 4,5 \times 10^4$). Vers la droite = exposant négatif ($0,0032 = 3,2 \times 10^{-3}$).
Géométrie
Le théorème de Thalès
Le théorème de Thalès s'applique lorsque deux droites sécantes sont coupées par deux droites parallèles (configuration emboîtée ou en papillon/sablier).
Il permet de calculer des longueurs grâce à l'égalité des rapports de proportionnalité :
$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}$
Astuce mémo d'alignement : Les petits côtés sont toujours au-dessus des grands, dans le même ordre des deux côtés : « Petit côté ÷ Grand côté = Petit côté ÷ Grand côté » — on ne mélange jamais !
$AC = \frac{AE \times AB}{AD} = \frac{4 \times 9}{3} = 12\text{ cm}$ (le grand triangle est 3 fois plus grand que le petit).
La trigonométrie : sinus, cosinus, tangente
Dans un triangle rectangle, la trigonométrie permet de calculer n'importe quelle longueur ou angle à partir des 3 rapports fondamentaux :
- $\sin(\text{angle}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$
- $\cos(\text{angle}) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$
- $\tan(\text{angle}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$
Le mot magique légendaire : SOH-CAH-TOA
• SOH : Sinus = Opposé ÷ Hypoténuse
• CAH : Cosinus = Adjacent ÷ Hypoténuse
• TOA : Tangente = Opposé ÷ Adjacent
Les rotations
Une rotation fait tourner une figure autour d'un point fixe (le centre) d'un certain angle, dans le sens horaire ou antihoraire.
L'analogie de la grande roue : Chaque nacelle tourne autour de l'axe central sans jamais changer de taille ni de forme !
Comme toutes les transformations isométriques (symétries, translation), la rotation conserve les longueurs, les angles et les aires.
Agrandissement et réduction
Lorsqu'on effectue un agrandissement ou une réduction de rapport $k$ :
- Toutes les longueurs sont multipliées par $k$.
- Toutes les aires sont multipliées par $k^2$.
- Tous les volumes sont multipliés par $k^3$.
La règle d'or des dimensions :
• Dimension 1 (longueur) $\rightarrow k^1$
• Dimension 2 (surface) $\rightarrow k^2$
• Dimension 3 (volume) $\rightarrow k^3$
Grandeurs et mesures
Volumes de solides : cône, pyramide, boule
Pour calculer les volumes des solides pointus et arrondis au Brevet :
- Cône de révolution : $V = \frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h$.
- Pyramide : $V = \frac{1}{3} \times \text{Aire de la base} \times h$.
- Boule (sphère) : $V = \frac{4}{3} \times \pi \times r^3$.
L'astuce mémo des solides pointus : Dès qu'un solide se termine par une pointe (cône ou pyramide), son volume est toujours divisé par 3 ($\frac{1}{3} \times \text{base} \times h$) !
Grandeurs composées : vitesse, débit
Une grandeur composée est le résultat de la combinaison de deux unités différentes (par quotient ou par produit) :
- Vitesse ($km/h$ ou $m/s$) : $\text{Vitesse} = \frac{\text{Distance}}{\text{Temps}}$.
- Débit ($L/min$ ou $m^3/h$) : $\text{Débit} = \frac{\text{Volume}}{\text{Temps}}$.
- Énergie électrique ($kWh$) : $\text{Énergie} = \text{Puissance} \times \text{Temps}$.
L'analogie du robinet qui coule : Un débit de 12 L/min signifie qu'en 5 minutes, le robinet remplit $12 \times 5 = 60\text{ L}$ d'eau.
Pourcentages et évolutions successives
Le taux d'évolution mesure la variation relative d'une quantité entre sa valeur de départ ($V_1$) et sa valeur d'arrivée ($V_2$) :
$\text{Taux} = \frac{V_2 - V_1}{V_1}$
En clair : Taux = (Valeur Finale - Valeur Initiale) ÷ Valeur Initiale. Multiplie par 100 pour l'obtenir en pourcentage !
$\text{Taux} = \frac{250 - 200}{200} = \frac{50}{200} = 0,25$, soit une augmentation de +25 %.
Organisation et gestion de données, fonctions
Statistiques : étendue et quartiles
Pour résumer et mesurer la dispersion d'une série de données :
- L'étendue est l'écart entre le maximum et le minimum : $\text{Étendue} = \text{Max} - \text{Min}$.
- Le premier quartile ($Q_1$) est la valeur en dessous de laquelle se trouvent au moins 25 % des données.
- Le troisième quartile ($Q_3$) est la valeur en dessous de laquelle se trouvent au moins 75 % des données.
- La médiane ($M$) coupe la série pile en deux (50 %).
Astuce mémo : Les quartiles coupent ta classe en 4 tranches égales de 25 %, exactement comme les 4 trimestres de l'année scolaire !
• Étendue $= 12 - 2 = 10$.
• $Q_1 = 4$ ($25\,\%$ des notes $\le 4$).
• $Q_3 = 8$ ($75\,\%$ des notes $\le 8$).
Probabilités : arbres et calculs
Un arbre de probabilités est un schéma en branches qui permet de visualiser pas à pas toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire complexe.
Les 2 règles d'or de l'arbre :
1. Le long d'un chemin (une branche qui se suit), on multiplie les probabilités.
2. La somme des probabilités de toutes les branches partant d'un même point fait toujours 1.
Fonctions linéaires et affines
Il existe deux grandes familles de fonctions à maîtriser au Brevet :
- Fonction linéaire ($f(x) = a \times x$) : traduit une situation de pure proportionnalité. Sa courbe est une droite qui passe obligatoirement par l'origine $(0,0)$.
- Fonction affine ($f(x) = a \times x + b$) : sa courbe est une droite qui coupe l'axe vertical en $y = b$ (l'ordonnée à l'origine).
L'analogie du forfait mobile : Un forfait avec abonnement fixe de 10 € ($b$) + 2 € par Go consommé ($a$) correspond à la fonction affine $f(x) = 2x + 10$ !