Cours — Mathématiques

Nombres et calculs

Calcul littéral : développer et réduire

Le calcul littéral remplace un nombre inconnu par une lettre (souvent $x$), comme une boîte mystère dont on cherche le contenu.

• Développer (la distributivité) : c'est distribuer une multiplication sur chaque terme entre parenthèses, comme un facteur qui distribue le courrier : $k(a + b) = k \times a + k \times b$.
• Réduire : c'est rassembler les membres de la même famille (les $x^2$ avec les $x^2$, les $x$ avec les $x$, et les nombres seuls entre eux).

Les puissances

Une puissance $a^n$ signifie qu'on multiplie le nombre $a$ par lui-même $n$ fois d'affilée ($a^3 = a \times a \times a$).

• Règle de multiplication : $a^m \times a^n = a^{m+n}$ (on additionne les exposants). Ex : $2^3 \times 2^4 = 2^7$.
• Puissance de puissance : $(a^m)^n = a^{m \times n}$. Ex : $(5^2)^3 = 5^6$.
• Exposant négatif : $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (c'est l'inverse). Ex : $2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0,25$.

Résoudre une équation du premier degré

Résoudre une équation, c'est trouver la valeur secrète de $x$ qui vérifie l'égalité.

La méthode pas à pas :

1. Regroupe tous les termes en $x$ à gauche de l'égalité.
2. Regroupe tous les nombres seuls à droite de l'égalité.
3. Divise les deux côtés par le nombre devant $x$.

Multiplication et division des relatifs

Pour multiplier ou diviser deux nombres relatifs, on applique la célèbre règle des signes :

• Signes identiques $\rightarrow$ Positif ($+$) : $(+) \times (+) = (+)$ et $(- ) \times (-) = (+)$.
• Signes contraires $\rightarrow$ Négatif ($-$) : $(+) \times (-) = (-)$ et $(- ) \times (+) = (-)$.

Géométrie

Le théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore s'applique exclusivement dans les triangles rectangles.

Il affirme que le carré du plus grand côté (l'hypoténuse, en face de l'angle droit) est égal à la somme des carrés des deux petits côtés :

$a^2 + b^2 = c^2$

Les translations

Une translation est un glissement en ligne droite d'une figure sans la faire tourner ni la déformer.

Elle est entièrement définie par un vecteur qui précise :

• Une direction (la droite sur laquelle on glisse).
• Un sens (vers la gauche, la droite, le haut, le bas...).
• Une longueur (norme) (la distance parcourue).

Le cosinus dans le triangle rectangle

Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu relie la mesure de l'angle aux longueurs de ses côtés :

$\cos(\text{angle}) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$

Le cosinus vaut toujours un nombre compris entre 0 et 1. Il permet de calculer une longueur manquante ou de retrouver l'angle avec la touche $\arccos$ (ou $\cos^{-1}$) de la calculatrice.

Grandeurs et mesures

Aires et volumes : sphère et cylindre

En 4e, on aborde les solides arrondis dans l'espace :

• Sphère (boule) de rayon $r$ : $\text{Volume} = \frac{4}{3} \times \pi \times r^3$  |  $\text{Aire de la surface} = 4 \times \pi \times r^2$.
• Cylindre de rayon $r$ et hauteur $h$ : $\text{Volume} = \pi \times r^2 \times h$.

Les pourcentages d'évolution

Pour calculer directement une hausse ou une baisse en pourcentage, on utilise le coefficient multiplicateur :

• Augmentation de $p\,\%$ : on multiplie par $(1 + \frac{p}{100})$. Ex : $+20\,\% \rightarrow \times 1,20$.
• Diminution de $p\,\%$ : on multiplie par $(1 - \frac{p}{100})$. Ex : $-30\,\% \rightarrow \times 0,70$.

Proportionnalité et échelles

Une échelle donne le rapport entre une distance mesurée sur un plan et la distance réelle sur le terrain (exprimées dans la même unité).

$\text{Échelle} = \frac{\text{Distance sur le plan}}{\text{Distance réelle}}$

Organisation et gestion de données, fonctions

Statistiques : effectifs, fréquences, médiane

En statistiques, pour analyser une liste de notes ou de données ordonnées :

• L'effectif est le nombre d'individus ou de fois qu'une valeur apparaît.
• La fréquence est la proportion : $\text{Fréquence} = \frac{\text{Effectif}}{\text{Effectif total}}$ (souvent en %).
• La médiane est la valeur pile au milieu : 50 % des données sont en dessous, 50 % sont au-dessus.

Les probabilités

Quand une expérience se déroule en plusieurs étapes indépendantes (ex : lancer 2 pièces ou tirer 2 cartes avec remise), la probabilité globale est le produit des probabilités de chaque étape.

La somme des probabilités de toutes les branches issues d'un même nœud vaut toujours 1 (100 %).

Introduction aux fonctions

Une fonction $f$ est une machine à calculer : tu lui donnes un nombre de départ ($x$, l'antécédent), et elle te ressort un résultat unique ($f(x)$, l'image).