Cours — Mathématiques
Nombres et calculs
Les nombres relatifs
Un nombre relatif est un nombre accompagné d'un signe + (positif) ou - (négatif).
L'analogie du thermomètre ou du compte en banque : Au-dessus de 0°C ou de l'argent en poche = positif ($+5$). En dessous de 0°C ou une dette = négatif ($-3$).
Additionner des relatifs :
- Même signe : on additionne les valeurs et on garde le signe commun. Ex : $(-3) + (-4) = -7$ (perdre 3 € puis perdre 4 €, c'est perdre 7 €).
- Signes différents : on fait la différence et on prend le signe du plus fort (celui qui a la plus grande distance à zéro). Ex : $(-3) + 5 = +2$.
Soustraire un relatif : soustraire un nombre négatif, c'est comme effacer une dette, donc c'est ajouter son opposé ! $(-7) - (-4) = (-7) + 4 = -3$.
Opérations sur les fractions
Calculer avec des fractions est un jeu d'enfant si l'on applique la bonne règle :
- Additionner / Soustraire : il faut obligatoirement le même dénominateur (le même nombre de parts). On additionne alors juste les numérateurs du haut : $\frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$.
- Multiplier deux fractions : c'est encore plus simple ! On multiplie les hauts entre eux et les bas entre eux : $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15}$.
L'astuce pour additionner si les bas sont différents : Transforme d'abord l'une des fractions pour avoir le même dénominateur ! Ex : $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
Les priorités opératoires
Quand un calcul mélange plusieurs opérations, on doit toujours respecter l'ordre officiel des priorités :
- 1. Les Parenthèses : prioritaires absolues !
- 2. Les Multiplications et Divisions : passent avant les additions.
- 3. Les Additions et Soustractions : se calculent en dernier (de gauche à droite).
Astuce mémo : Pense au mot PEMDAS (Parenthèses, Exposants, Multiplication/Division, Addition/Soustraction).
Les puissances de 10
Une puissance de 10 est un raccourci d'écriture pour les très grands nombres. L'exposant indique exactement le nombre de zéros après le 1 :
- $10^1 = 10$ (1 zéro)
- $10^2 = 100$ (2 zéros, une centaine)
- $10^3 = 1\,000$ (3 zéros, un millier)
- $10^6 = 1\,000\,000$ (6 zéros, un million)
L'analogie du zoom : Multiplier par $10^3$, c'est faire avancer la virgule de 3 crans vers la droite : $2,5 \times 10^3 = 2\,500$.
Géométrie
La symétrie centrale
La symétrie centrale correspond à faire un demi-tour (180°) autour d'un point fixe appelé centre de symétrie.
L'analogie de la carte à jouer : Regarde un Roi ou une Reine dans un jeu de cartes : la figure du haut est la réplique exacte de celle du bas, mais retournée la tête en bas !
Règle de construction : Le symétrique d'un point $A$ par rapport au centre $O$ est le point $A'$ tel que $O$ soit exactement le milieu du segment $[AA']$ ($OA = OA'$).
La symétrie centrale ne déforme rien : elle conserve les longueurs, les angles et les aires.
Les parallélogrammes
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux et de même longueur.
L'analogie des rails de train : Les deux côtés d'en haut et d'en bas ne se croisent jamais, tout comme les deux côtés gauche et droit !
Ses 3 super propriétés :
- Ses diagonales se coupent en leur milieu.
- Ses côtés opposés sont de même longueur ($AB = CD$ et $BC = AD$).
- Ses angles opposés ont la même mesure.
Les angles dans un triangle
C'est une propriété magique et universelle : la somme des 3 angles de n'importe quel triangle fait TOUJOURS 180°.
En clair : Si tu découpes les 3 coins d'un triangle en papier et que tu les colles côte à côte, ils forment une ligne droite parfaite (un angle plat de 180°).
Trouver un angle manquant : Si tu connais deux angles d'un triangle, soustrais-les à 180° pour trouver le troisième.
Patrons et solides
Un patron est le découpage d'un solide à plat en 2D. En le pliant, on fabrique l'objet en 3D (comme une boîte en carton).
- Cube : composé de 6 carrés identiques.
- Pavé droit : composé de 6 rectangles opposés 2 à 2.
- Prisme droit : 2 bases identiques (triangles, polygones) reliées par des rectangles latéraux.
- Cylindre : un grand rectangle déroulé encadré par 2 disques de même taille.
L'astuce pour ne pas se tromper : Compte les faces du solide en 3D. Ton patron doit contenir exactement le même nombre de morceaux !
Grandeurs et mesures
Volumes : pavé droit, cube, cylindre
Le volume mesure l'espace en 3D occupé par un objet. Il s'exprime en mètres cubes ($m^3$), centimètres cubes ($cm^3$) ou en litres ($1\text{ dm}^3 = 1\text{ L}$).
- Pavé droit (boîte rectangulaire) : $\text{Volume} = L \times l \times h$ (Longueur $\times$ largeur $\times$ hauteur).
- Cube d'arête $a$ : $\text{Volume} = a \times a \times a = a^3$.
- Cylindre de rayon $r$ et hauteur $h$ : $\text{Volume} = \pi \times r^2 \times h$ (Aire de la base $\times$ hauteur).
Le principe universel pour les prismes et cylindres : Calcule l'aire de la base au sol, puis multiplie par la hauteur de la boîte !
La vitesse moyenne
La vitesse moyenne ($v$) indique la distance parcourue en une heure (ou en une seconde). C'est le rapport entre la distance et le temps.
$v = \frac{d}{t}$ (Vitesse = Distance ÷ Durée)
Le triangle magique $d, v, t$ : Pour trouver la distance : $d = v \times t$. Pour trouver le temps : $t = \frac{d}{v}$.
Les pourcentages
Un pourcentage est une fraction dont le dénominateur est 100. Il sert à exprimer une part ou une réduction.
L'analogie des soldes : Réduction de $25\,\%$ sur un t-shirt à 80 € : on prend un quart du prix ($80 \times 0,25 = 20\text{ €}$). Le nouveau prix est $80 - 20 = 60\text{ €}$.
Méthode de calcul direct : Prendre $t\,\%$ d'une valeur, c'est multiplier cette valeur par $\frac{t}{100}$ (soit $0,t$).
Organisation et gestion de données
La moyenne d'une série statistique
La moyenne donne la valeur que chacun aurait si tout était partagé équitablement.
Comment la calculer ?
- On additionne toutes les valeurs.
- On divise le total par le nombre total de valeurs.
L'analogie des scores de jeu : Si tu fais 12, 14 et 16 points sur 3 parties, ton total est 42 points. Ta moyenne est $42 \div 3 = 14$ points par partie !
Introduction aux probabilités
Les probabilités mesurent les chances qu'un événement a de se produire dans une expérience aléatoire (comme lancer un dé ou une pièce).
$\text{Probabilité} = \frac{\text{Nombre d'issues favorables}}{\text{Nombre total d'issues possibles}}$
- Une probabilité est toujours comprise entre 0 (événement impossible) et 1 (événement certain).
- La somme des probabilités de toutes les issues vaut toujours 1.
L'exemple du dé à 6 faces : Obtenir un 4 correspond à 1 chance sur 6 ($\frac{1}{6}$). Obtenir un nombre pair (2, 4 ou 6) correspond à 3 chances sur 6, soit $\frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 50\,\%$.