Cours — Mathématiques
Nombres et calculs
Les nombres décimaux
Un nombre décimal est un nombre à virgule qui sépare les unités entières des morceaux d'unité (la partie décimale).
Par exemple, dans 25,673 :
- 25 est la partie entière (2 dizaines et 5 unités).
- 6 est le chiffre des dixièmes (comme des pièces de 10 centimes).
- 7 est le chiffre des centièmes (comme des pièces de 1 centime).
- 3 est le chiffre des millièmes.
L'astuce pour comparer : Ajoute des zéros invisibles pour avoir le même nombre de chiffres après la virgule ! Par exemple, 12,5 c'est 12,50. Donc 12,45 < 12,50 (car 45 centimes est plus petit que 50 centimes).
Additionner et soustraire des décimaux
Pour poser une addition ou une soustraction de nombres à virgule, il n'y a qu'une seule règle d'or : aligner les virgules verticalement.
Exemple : calculer 3,25 + 1,7
- On aligne la colonne des virgules : 3,25 au-dessus de 1,70.
- On complète avec un 0 pour combler le trou (1,7 devient 1,70).
- On additionne normalement : 325 + 170 = 495, donc 4,95.
En clair : Imagine que la virgule est une colonne de boutons d'ascenseur : tout le monde doit être sur le même fil vertical !
Multiplier des décimaux
Pour multiplier deux nombres décimaux, on procède en deux étapes très simples :
- On fait la multiplication sans s'occuper des virgules (comme des nombres entiers).
- On compte le nombre total de chiffres après la virgule dans les deux nombres de départ, et on place la virgule dans le résultat.
Exemple : 2,5 × 1,4
- On calcule sans virgule : 25 × 14 = 350.
- 2,5 a 1 chiffre après la virgule, et 1,4 a 1 chiffre aussi : soit 2 chiffres au total.
- On place la virgule 2 crans vers la gauche : 350 devient 3,50 (soit 3,5).
L'astuce ×10, ×100, ×1000 : Décale simplement la virgule vers la droite d'autant de zéros (ex : 3,2 × 100 = 320).
Les fractions simples
Une fraction, c'est simplement le partage équitable d'un gâteau ou d'une pizza en parts égales.
Dans la fraction 3/4 (« trois quarts ») :
- 4 est le dénominateur (en bas) : le nombre total de parts découpées.
- 3 est le numérateur (en haut) : le nombre de parts que tu manges.
Astuce mémo : Le Numérateur est en NUAGE (en haut), le Dénominateur DESCEND (en bas) !
Calculer une fraction d'un nombre : pour prendre les 3/5 de 20 bonbons, on divise par le bas puis on multiplie par le haut : (20 ÷ 5) × 3 = 4 × 3 = 12 bonbons.
Géométrie
Le cercle
Le cercle est l'ensemble de tous les points situés à la même distance d'un point central.
- Le centre est le point au milieu (où l'on pique le compas).
- Le rayon est la distance entre le centre et le bord (comme le rayon d'une roue de vélo).
- Le diamètre est le segment qui traverse le cercle de part en part en passant par le centre : il vaut exactement 2 fois le rayon ($D = 2 imes R$).
En clair : Si le diamètre d'une roue fait 60 cm, son rayon fait la moitié : 30 cm !
Triangles et quadrilatères
Les figures géométriques ont des « cartes d'identité » précises selon leurs côtés et leurs angles :
Les 3 grands triangles particuliers :
- Triangle rectangle : il possède un angle droit (90°, comme le coin d'une feuille).
- Triangle isocèle : il possède 2 côtés égaux (et 2 angles égaux).
- Triangle équilatéral : ses 3 côtés sont parfaitement égaux (ses 3 angles font 60°).
Les quadrilatères (4 côtés) :
- Rectangle : 4 angles droits et côtés opposés égaux.
- Losange : 4 côtés égaux (comme un cerf-volant régulier).
- Carré : c'est le champion qui combine tout (4 côtés égaux ET 4 angles droits).
Astuce mémo : « Équilatéral » commence par Équi comme Équitable : tout le monde a la même longueur !
La symétrie axiale
La symétrie axiale correspond à l'effet miroir ou au pliage d'une feuille.
Deux figures sont symétriques par rapport à une droite (l'axe) si elles se superposent exactement lorsqu'on plie le long de cette droite.
L'analogie du papillon : Pense aux ailes d'un papillon ou à une tache de peinture pliée en deux : l'image est identique mais inversée !
Propriété fondamentale : La symétrie axiale ne déforme rien. Elle conserve les longueurs, les angles et les surfaces.
Les angles
Un angle mesure l'écartement entre deux demi-droites issues d'un même sommet. Il se mesure en degrés (°) à l'aide d'un rapporteur.
- Angle aigu : petit et piquant, strictement inférieur à 90°.
- Angle droit : forme un coin parfait de 90° (marqué par un petit carré).
- Angle obtus : grand et ouvert, compris entre 90° et 180°.
- Angle plat : ligne droite complète de 180°.
L'analogie des ciseaux : Légèrement ouverts = angle aigu ; grand ouverts = angle obtus ; ciseaux posés à plat = angle plat (180°).
Grandeurs et mesures
Périmètre et aire
Il ne faut jamais confondre le tour d'un terrain et sa surface intérieure :
- Le périmètre, c'est la longueur de la clôture (le tour complet). On l'exprime en mètres ($m$), centimètres ($cm$), etc.
- L'aire, c'est la surface de la pelouse (l'espace intérieur). On l'exprime en mètres carrés ($m^2$), centimètres carrés ($cm^2$), etc.
Les formules incontournables :
- Carré de côté $c$ : Périmètre $= 4 imes c$ ; Aire $= c imes c$.
- Rectangle de longueur $L$ et largeur $l$ : Périmètre $= 2 imes (L + l)$ ; Aire $= L imes l$.
- Cercle de rayon $r$ : Périmètre $\approx 2 imes \pi imes r$ ; Aire $\approx \pi imes r^2$.
Astuce mémo : Périmètre = le tour à pied ($cm$). Aire = le nombre de carrelages carrés pour recouvrir le sol ($cm^2$).
Les unités de mesure
Toutes nos unités de mesure du quotidien (longueurs, masses, contenances) fonctionnent par paliers de 10.
- Longueurs : km — hm — dam — m — dm — cm — mm.
- Masses : kg — hg — dag — g — dg — cg — mg.
- Contenances : kL — hL — daL — L — dL — cL — mL.
La règle des sauts : Chaque case vers la droite ajoute un 0 (ou décale la virgule d'un cran à droite). Chaque case vers la gauche décale la virgule à gauche. Ex : 1 kg = 1 000 g (3 sauts).
La proportionnalité
Deux grandeurs sont proportionnelles si l'on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre (le coefficient de proportionnalité).
L'exemple des courses : Si 3 kg de pommes coûtent 9 €, alors 1 kg coûte 3 € (9 ÷ 3). Pour 5 kg, tu paieras 5 × 3 = 15 €. Tout est multiplié à la même échelle !
La méthode du produit en croix : Dans un tableau à 4 cases, les multiplications en diagonale donnent le même résultat : si $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, alors $a \times d = b \times c$.
Durées et horaires
Attention au piège : le temps ne compte pas en base 100 mais en base 60 !
- 1 heure = 60 minutes (et non 100).
- 1 minute = 60 secondes.
- 0,5 heure = une demi-heure = 30 minutes (et non 50 minutes !).
La méthode pas à pas pour calculer une durée : Fais des étapes jusqu'à l'heure pleine suivante, puis ajoute les minutes restantes.
• De 14 h 35 à 15 h 35 = 1 heure.
• De 15 h 35 à 16 h 10 = 35 minutes.
• Durée totale = 1 h 35 min.
Organisation et gestion de données
Lire et construire un tableau
Un tableau de données permet de ranger des informations en lignes et en colonnes pour les retrouver et les comparer en un coup d'œil.
Comme à la bataille navale : Pour trouver une info, on croise le nom d'une ligne avec le nom d'une colonne (ex : ligne « Léo » et colonne « Taille » donne sa taille exacte).
Pour construire un bon tableau : donne toujours un titre à chaque colonne et vérifie que chaque nombre est bien dans la case correspondante.
Les diagrammes
Un diagramme transforme des listes de chiffres en image facile à comprendre :
- Diagramme en bâtons (ou barres) : la hauteur de chaque barre est proportionnelle à la quantité. Plus la barre est haute, plus le nombre est grand.
- Diagramme circulaire (le « camembert ») : représente un partage sur un total de 100 %. La moitié du total occupe un demi-cercle (180°), un quart occupe un angle droit (90°).
L'analogie du stockage sur smartphone : Quand tu regardes l'espace utilisé par tes photos, applis et vidéos sous forme de barre colorée, c'est un diagramme de répartition !